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\newtheorem{exercice}{\textcolor{blue}{Exercice}
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} ES : devoir à la maison \no 2}}\end{center}

%Source de certains exercices : http://cm.maths-lfb.fr/index.php?page=spe1l-ds-11-12


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{exercice}
On considère les fonctions suivantes : \[f(x)=x^2+2x-3  \text{ et } \medskip g(x)=\dfrac{2x-7}{3x+5}\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble de définition de chacune des deux fonctions.
\item \begin{enumerate}
   \item Calculer les images par $f$ de 3 et de -4.
   \item Déterminer les antécédents de -4 par $f$, puis les antécédents de -3 par $f$.
      \end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
   \item Calculer les images par $g$ de 2 et de -4.
   \item Déterminer les antécédents de 1 par $g$, puis les antécédents de -2 par $g$.
      \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\columnbreak
\begin{exercice}
Soit  $f$ la fonction carré.
\begin{enumerate}
\item Sans calculs donner un encadrement de $f(x)$ pour $x$ compris entre $3$ et $5$.
\item Sans calculs donner un encadrement de $f(x)$ pour $x$ compris entre $-3$ et $-2$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit  $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 

\noindent $f(x)=-3x^3+1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
\item Résoudre, à 0,1 près avec la calculatrice, l'équation $f(x)=2$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit  $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x)=4-\dfrac{1}{x}$.\par

Montrer que $g$ est croissante et dresser son tableau de variations.

\end{exercice}


\end{multicols}


\bigskip

\begin{exercice}
Soient  les fonctions $f(x)=\sqrt{x}$ et $g(x)=\dfrac{3}{2}x-1$ définies sur $[0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathscr{C}_f$ est déjà tracée ; tracer $\mathscr{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans le même repère.
\item Déterminer graphiquement la position relative des courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$,\par
et en déduire la comparaison de $\sqrt{x}$ et $\dfrac{3}{2}x-1$ sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-2.5)(10.,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1.,-2.)(10.,5.)
\psgrid[subgriddiv=5,gridwidth=1pt,gridlabels=0](-1.,-2.)(10.,5.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{10.0}{sqrt(x)}
\uput[dl](0,0){0}
%\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-1.0}{10.0}{3.0*x/2-1.0}
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](0.2,-0.22){\qqwuqq{$f$}}
%\rput[bl](-4.2,-5.42){\ccqqqq{$g$}}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}

\item \textbf{Vérification algébrique} : on souhaite connaître la position relative des deux courbes.

\noindent Montrer que cela revient à étudier le signe de $D(x)=\dfrac{3}{2}x-\sqrt{x}-1$.

\item On veut résoudre l'inéquation $D(x)\geqslant 0$.

\noindent On pose $X=\sqrt{x}$ (donc $X\geqslant 0$).

\noindent Montrer que le problème revient à résoudre l'inéquation $\dfrac{3}{2}X^2-X-1\geqslant 0$, avec $X\geqslant 0$.

\item Résoudre cette inéquation d'inconnue $X$ puis en déduire la ou les solution(s) de l'équation $D(x)\geqslant 0$.

\noindent Conclure et comparer avec la résolution graphique faite  précédemment.

\end{enumerate}

\end{exercice}


\label{fin}
\end{document}  