\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\fbox{\textcolor{red}{Suites numériques}}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Généralités sur les suites}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Définitions et notations}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition \og{}naïve\fg{}}}
Une suite numérique est une suite de nombres, illimitée et dont on numérote les termes.\\
\end{bclogo}

\bigskip

Exemples : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $0~;~1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\cdots~;~$ (suite des entiers naturels)

\item $0~;~2~;~4~;~6~;~8~;~10~;~12~;~14\cdots$ (suite des entiers pairs)

\item $1~;~2~;~4~;~8~;~16~;~32~;~64~;~128~;~256\cdots$ (suite des puissances de 2)

\item $1~;~1~;~2~;~3~;~5~;~8~;~13~;~21~;~34~;~55~;~89~;~144$ (suite de Fibonacci)
\end{enumerate}


\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition mathématique}}
Une suite numérique $u$ est une fonction numérique, définie sur $\mathbb{N}$ ou sur une partie de $\mathbb{N}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.\\
\begin{tabular}{ll}
$u :$&$\mathbb{N}\mapsto\mathbb{R}$\\
&$n\mapsto u(n)$
\end{tabular}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Notation : }} 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le terme général $u(n)$ se note $u_{n}$.\\
L'ensemble des termes de la suite se note $\left(u_{n}\right)_{{n\in\mathbb{N}}}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Attention à ne pas confondre les deux notations :}}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=2^n-1$ pour tout $n$

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=\sqrt{n-4}$ pour tout $n\geqslant 4$.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
Nous allons voir qu'il y a deux façons de définir une suite.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition explicite}}
Une suite est définie de façon explicite lorsque le terme général $u_{n}$ est directement exprimé en fonction de $n$.

\bigskip

\textcolor{red}{Exemple :}\\
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $u_{n}=\dfrac{1}{n^2+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
$u_{0}=1$ ; $u_{1}=\dfrac{1}{2}$, $u_{10}=\dfrac{1}{101}$ ; $u_{50}=\dfrac{1}{\nombre{2501}}$.\\
On peut calculer \textbf{facilement et rapidement} n'importe quel terme $u_{n}$ ; il suffit de remplacer $n$ par sa valeur.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition par récurrence :}}
Une suite  $\left(u_{n}\right)$ est définie par récurrence lorsque chaque terme est défini en fonction du ou des termes précédents, et par la donnée du ou des premiers termes.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}

\item $u_{0}=5$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_{n}+3$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Suite de Fibonacci :}} \\
$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=u_{1}=1\\
u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}\text{ pour tout }n\end{array}\right.$.

\item $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1}=\dfrac{2}{3+u_{n}}\end{array}\right.$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Calculer les trois premiers termes de ces trois suites.

\item Est-il facile de calculer le terme $u_{25}$ ? $u_{100}$ ?

\end{enumerate}

Le problème des suites définies par récurrence est que, pour pouvoir calculer un terme, il est nécessaire d'avoir calculé auparavant tous les termes précédents.

\noindent On essaye alors pour certains types de suites définies par récurrence de trouver une définition explicite, mais ce n'est pas toujours facile ou possible.

\subsection{\textcolor{blue}{Représentation graphique des termes d'une suite}}

\textbf{\textcolor{red}{Suite définie de façon explicite :}}

\noindent On a $u_{n}=f(n)$ où $f$ est une fonction.\\
On représente les points de coordonnées $(n~;~f(n))$.\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} soit $u_{n}=3-\dfrac{1}{n+1}$.\\
La représentation des dix premiers termes de la suite (donc de $u_{0}$ à $u_{9}$) donne : 
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=4,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-1)(10,4)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(10,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,4)
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,2)(1,2.5)(2,2.666666667)(3,2.75)(4,2.8)(5,2.833333333)(6,2.857142857)(7,2.875)(8,2.888888889)(9,2.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Variations d'une suite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[a)]
\item \textbf{\textcolor{red}{Suite croissante :}} Une suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant n_{0}}$ est croissante si, et seulement si, pour tout $n\geqslant n_{0}$, $u_{n+1}\geqslant u_{n}$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Suite décroissante :}} Une suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant n_{0}}$ est décroissante si, et seulement si, pour tout $n\geqslant n_{0}$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Suite constante :}} Une suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant n_{0}}$ est constante si, et seulement si, pour tout $n\geqslant n_{0}$, $u_{n+1}= u_{n}$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Suite monotone}} Une suite est monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} En pratique, on calcule $u_{n+1}-u_{n}$ pour tout $n$ et on étudie le signe de cette différence.\\\\
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}\\

\begin{enumerate}[Exemple 1]
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=n^2+1$. Montrons que cette suite est croissante.\\
Pour tout $n$ : $u_{n+1}=(n+1)^2+1$ ; $u_{n}=n^2+1$.\\
Alors $u_{n+1}-u_{n}=[(n+1)^2+1]-[n^2+1]=(n+1)^2-n^2=\boxed{\textcolor{red}{2n+1}}$.\\
Comme $n$ est un entier naturel, $2n+1$ est positif, donc $u_{n+1}-u_{n}$ est positif.\\
Par conséquent : $u_{n+1}>u_{n}$ pour tout $n$ : \fbox{la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante}.

\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=\dfrac{1}{n+1}$. Montrons que cette suite est décroissante.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}$ ; $u_{n}=\dfrac{1}{n+1}$.\\
$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1(n+1)-1(n+1)}{(n+2)(n+1)}=-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}<0$ car le dénominateur est positif ($n$ étant un entier naturel) et -1 étant négatif.\\
Par conséquent : $u_{n+1}-u_{n}<0$ ; on en déduit que $u_{n+1}<u_{n}$ pour tout $n$.\\
\fbox{La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Suites arithmétiques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite. S'il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1=u_{n}}+r$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est appelée suite arithmétique, de raison $r$.\\
On l'appelle suite arithmétique, car chaque terme est la moyenne arithmétique (moyenne usuelle) du terme précédent et du terme suivant.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Expression explicite}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$.\\
Pour tout $n$, on a : $u_{n}=u_{0}+nr$.\\
Plus généralement : pour tout $p$ : $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$.
\end{bclogo}

\bigskip

Justification : \\
$u_1=u_0+r$, $u_2=u_1+1=\left(u_0+r\right)+r=u_0+2r$, $u_3=u_2+r=\left(u_0+2r\right)+r=u_0+3r$, etc.

\bigskip

On a  $u_n=u_0+nr$ et $u_p=u_0+pr$ donc par soustraction, $u_n-u_p=(n-p)r$ d'où $u_n=u_p+(n-p)r$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations d'une suite arithmétique}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$. Alors :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $r<0$ la suite est décroissante.

\item Si $r=0$, la suite est constante.

\item Si $r>0$, la suite est croissante
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} \og{} évidente \fg{} puisque $u_{n+1}-u_n=r$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme des termes d'une suite arithmétique}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$.\\
On définit : $S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n}=\sum_{i=0}^{i=n}u_{i}$.\\
Alors $\boxed{\textcolor{red}{S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}}}$.\\
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} $(n+1)$ est le nombre de termes, $u_{0}$ est le premier terme et $u_{n}$ est le dernier terme.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soient $n$ et $p$ deux entiers avec $p\leqslant n$ ; alors $u_{p}+u_{n-p}=u_{0}+u_{n}$\\
En effet : $u_{p}=u_{0}+pr$ et $u_{n-p}=u_{0}+(n-p)r$ donc $u_{p}+u_{n-p}=u_{0}+u_{0}+nr=u_{0}+u_{n}$.

\item On écrit $S_{n}$ de deux façpns, une fois à l'endroit et une fois à l'envers et on somme terme à terme :\\
$S_{n}=u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}$\\
$S_{n}=u_{n}u_{0}+u_{n-1}+\cdots+u_{1}+u_{0}$\\
Alors : $2S_{n}=(u_{0}+u_{n})+(u_{1}+u_{n-1})+\cdots+(u_{n}+u_{0})=(n+1)(u_{0}+u_{n})$ car chaque somme est égale à $u_{0}+u_{n}$
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Cas particulier}}
Notons $\Sigma_{n}=1+2+3+\cdots+n=\sum_{i=0}^ni$\\
Alors : $\Sigma_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$.\\
\end{bclogo}

\bigskip

Il suffit d'appliquer le résultat précédent ou la méthode précédente.\\\\
On a alors un autre moyen de calculer la somme des termes d'une suite arithmétique :\\
on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{S_{n}=(n+1)u_{0}+\dfrac{n(n+1)}{2}r}}$.


\subsection{\textcolor{red}{Suites géométriques}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique s'iil existe un nombre réel $q$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=q u_{n}$. $q$ est appelé la raison de la suite.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} Soit $u_{n}=2^n$ ; $u_{n+1}=2^{n+1}=2u_{n}$ pour tout $n$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison 2.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Formulation explicite (admise)}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$.\\
Pour tout $n$, on a : $\boxed{\textcolor{red}{u_{n}=u_{0}\times q^n}}$.

\bigskip

Plus généralement : pour tout $p\leqslant n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n}=u_{p}q^{n-p}}}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Justification}}

$u_{1}=qu_{0}$\\
$u_{2}=qu_{1}=q\left(u_{0}\times q\right)=u_{0}\times q^2$\\
$u_{3}=qu_{2}=q\times u_{0}\times q^2=u_{0}\times q^3$\\
On peut imaginer que cela se poursuit ainsi.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q>1$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante si $u_{0}>0$ et décroissante si $u_{0}<0$.

\item Si $0<q<1$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante si $u_{0}>0$ et croissante si $u_{0}<0$.

\item Si $q<0$, la suuite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas monotone.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}

Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=u_{0}q^{n+1}-u_{0}q^n=u_{0}q^n\left(q-1\right)$.\\
Si $q>1$, $u_{0}q^n\left(q-1\right)$ est du signe de $u_{0}$.\\
Si $0<q<1$, $q-1<0$ donc $u_{0}q^n\left(q-1\right)$ est du signe opposé à $u_{0}$.\\
Si $q=1$, la suite est constante, de même que si $q=0$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme des termes d'une suite géométrique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]
{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $q\neq 1$.  $\boxed{\textcolor{red}{s_{n}=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textcolor{blue}{Démonstration : }\\
On a :\\
$s_{n}=1+q+q^2+q^3+\cdots+q^{n-1}+q^n$\\
$qs_{n}=q+q^2+q^3+\cdots+q^n+q^{n+1}$\\
Alors : $s_{n}-qs_{n}=1-q^{n+1}$ donc $(1-q)s_{n}=1-q^{n+1}$. 

D'où : $s_{n}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$  que l'on peut aussi écrire $\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$.\\
Soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=\sum_{i=1}^n u_{i}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$ : $S_{n}=(n+1)u_{0}$

\item Si $q\neq 1$, $S_{n}=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, tous les termes sont égaux à $u_{0}$ donc $S_{n}=(n+1)u_{0}$, $\mathbb{N}+1$ étant le nombre de termes.

\item $q\neq 1$ ; $S_{n}=u_{0}+u_{0}q+u_{0}q^2+\cdots+u_{0}q^n=u_{0}\left(1+q1+q^2+\cdots+q^n\right)=u_{0}s_{n}=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\end{enumerate}
%

\label{fin}
\end{document}  

