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% pour le pied de page central
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\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{1\iere{} COM : Probabilités}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textbf{\textcolor{red}{Vocabulaire}}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Expérience aléatoire}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle expérience aléatoire une expérience liée au hasard, dont on connaît les résultats, mais dont on ne sait pas à l'avance lequel de ces résultats va survenir.
\end{bclogo}
 
Exemple : on lance une pièce de monnaie. On sait que l'on va obtenir Pile ou Face.\\
Si l'on lance un dé, on va obtenir un entier entre 1 et 6.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Univers et éventualités}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Lors d'une expérience aléatoire, on appelle univers, noté $\Omega$, l'ensemble des résultats possibles, que l'on appelle éventualités.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarques}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les sous-ensembles de $\Omega$ sont appelés événements.

\item Les événements formés par un seul élément sont des événements élémentaires.

\item $\Omega$ est l'événement certain.

\item L'ensemble vide, $\emptyset$, est l'événement impossible.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}}

On lance un dé et on note le résultat de la face supérieure.\\
$\Omega=\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\}$\\

\og{} Obtenir un résultat pair\fg{} est un événement, constitué de trois éventualités.\\

\og Obtenir un entier inférieur ou égal à 2\fg{} est un événement élémentaire car il n'est constitué que de 2.\\

\og{} Obtenir un multiple de 10\fg{} est l'événement impossible.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Intersection, réunion}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient deux événements A et B.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On note $\text{A}\cap\text{B}$ l'intersection de A et de B, constituée des éventualités appartenant à A et à B.

\item On note $\text{A}\cup\text{B}$ la réunion de A et de B, constituée des éventualités appartenant à A ou à B.
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Événement contraire}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle événement contraire de A, noté $\overline{\text{A}}$, l'ensemble des éventualités de $\Omega$ qui ne sont pas dans A.\\
A et B sont incompatibles lorsque $\text{A}\cap\text{B}=\emptyset$?
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Cardinal d'un ensemble}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle cardinal d'un ensemble le nombre d'éléments de celui-ci.
\end{bclogo}
Exemple : le cardinal de l'ensemble 1\iere{} COM est 35

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient deux ensembles $A$ et $B$.\\
On appelle $A\cup B$ (A union B) l'ensemble des éléments appartenant à A \textbf{\textcolor{blue}{ou}} à B (ou aux deux).\\
On appelle $A\cap B$ (A union B) l'ensemble des éléments appartenant à A \textbf{\textcolor{blue}{et}} à B.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)$
\end{bclogo}

\noindent En effet, si on additionne le nombre d'éléments de A à celui de B, on compte deux fois ceux qui appartiennent aux deux ensembles, c'est-à-dire à leur intersection.

\subsection{\textcolor{red}{Probabilités}}
Lors d'une expérience aléatoire, on cherche à mesurer le nombre de chance d'arrivées de chaque éventualité.

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\Omega=\{a_{1}~;~a_{2}~;~\cdots a_{n}\}$ l'univers associé à une expérience aléatoire.\\
On définit une loi de probabilité sur $\Omega$ en 	choisissant des nombres $p_{1}$, $p_{2}$, \dots $p_{n}$  tous compris entre 0 et 1, tels que $p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1$.\\
$p_{i}$ est la probabilité de l'événement élémentaire $a_{i}$.\\
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
\end{bclogo}

Exemple : Pour un dé non truqué, on choisit $\dfrac{1}{6}$ comme probabilité de chaque face.\\
La probabilité d'avoir un résultat  pair est $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$.

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On dit qu'on a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si l'on est dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est : $p(\text{A})=\dfrac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$
\end{bclogo}

Exemple : une classe de 35 élèves comprend 20 filles.\\
On choisit un élève au hasard et on note F l'événement \og l'élève choisi est une fille\fg.\\
$p(F)=\dfrac{20}{35}=\dfrac{4}{7}$.

\subsection{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout événement A : $0\leqslant p(\text{A})\leqslant 1$

\item $p(\Omega)=1$ ; $p(\emptyset)=0$

\item Pour deux événements A et B : $p(\text{A}\cup \text{B})=p(\text{A})+p(\text{B})-p(\text{A}\cap\text{B})$

\item Si A et sont incompatibles : $p(\text{A}\cup \text{B})=p(\text{A})+p(\text{B})$.

\item $p(\overline{\text{A}})=1-p(\text{A})$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\label{fin}
\end{document}  